"Hoch" vs. "Mal"
Was ist der Unterschied?
Viele Menschen glauben, dass \(5 \cdot 3\) irgendwie dasselbe wäre wie \(5^3\). Das ist aber nicht der Fall!
Sehen wir uns den Unterschied an:
Multiplikation \(5 \cdot 3\) :
\(5 \cdot 3 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15\)
Der erste Faktor gibt an, wie oft der zweite Faktor zu sich selbst addiert wird.
Bei der Multiplikation gilt das Kommutativgesetz, man darf also die Faktoren vertauschen:
\(5 \cdot3 = 3 \cdot5\)
\(3 \cdot5 = 5 + 5 + 5 = 15\)
Potenzieren \(5^3\) :
\(5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125\)
Der Exponent (die Hochzahl) gibt an, wie oft die Basis mit sich selbst multipliziert wird.
Vielleicht hilft folgende Darstellung:
Sprachlich: 5 hoch 3 ist gleich 5 mal 5 mal 5.
oder
Die Zahl, die oben steht, gibt an, wie oft die Zahl unten mit sich selbst multipliziert wird.
Formal:
\(5^3 = \underbrace{5 \cdot5\cdot5}_{\text{3-mal}}\)
Allgemein: \(a^n = \underbrace{a \cdot a\cdot a\cdot...\cdot a}_{\text{n-mal}}\)
Beachte: Basis und Exponent dürfen nicht vertauscht werden!
\(5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125\)
\(3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243\)
Diese Regeln braucht man beim Programmieren ziemlich häufig!